Формулы приведения

Очевидно, длина «зеленого» катета равна длине «красного» в силу равенства «серых» треугольников:

2. Исходное значение – отрицательно, так как располагается в III четверти:

1. Задаем себе вопрос: «Меняется ли название функции на кофункцию?» (то есть синнус на косинус, косинус на синус, тангенст на котангенс и котангенс на тангенс).

Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой , потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?».

(название меняем, знаки и , как видно из картинки, одинаковы, – ставим справа знак «+»)

Ключевая точка располагается на горизонтальной оси:

Формулы приведения

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен +. Значит у приведенной функции тоже будет знак «плюс». Это мы применили второе правило.

2. Правило «каким ты был, таким ты и остался».

Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Урок алгебры в 9-м классе по теме: Формулы приведения

Остальные формулы предложить вывести группам.

  • — 1 группе,
  • — 2 группе,
  • 2 + — 3 группе,
  • 2 — — 4 группе.

Начнем: sin = sin cos + sin cos =1· cos + sin ·0 = cos cos( + ) = cos? cos – sin sin = -1· cos — 0· sin = — cos .

5. Я думаю, что вы уже догадались, что формулами, выведенными 1, 2, 3 и 4 группами можно было упростить работу 5 группы.

Каждой группе при закреплении нового материала выставляется оценка за первое задание по результатам проверки у доски. (Ученики той группы, которая защищает свою работу, могут дополнить своего товарища, повышая свою оценку).

Цели урока:

  • познакомить учащихся с еще одной группой формул тригонометрических функций – формулами приведения с помощью самостоятельного вывода этих формул для подтверждения мнемонического правила для этих формул к преобразованию тригонометрических выражений;
  • развивать логическое мышление и математическую речь учащихся;
  • воспитывать самостоятельность, ответственность, взаимопомощь и чувство коллективизма.

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа на вопрос 1, смотрел на свою ученую лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента . Если лошадь кивала головой вдоль оси Оу, то математик считал, что получен ответ “да, менять”, если вдоль по оси Ох, то “нет, не менять”.

Формулы приведения

Данные формулы можно также выразить в табличной форме:

– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:

– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.

Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:

Тригонометрические формулы приведения

Если представить, что через большой палец и мизинец проходят оси координат OY и OX, тогда пальцы представляют собой лучи под углами 0, 30°, 45°, 60° и 90°.

А теперь, внимательно рассмотрим список. Нетрудно заметить, что в нем присутствуют некие закономерности. Итак, для каждой функции существует 8 формул приведения: 2 с аргументами (π±α), 2 для угла (2π±α), по две на (π/2±α) и (3π/2±α). Если проанализировать перечень, то можно убедиться, что для первых 4-х аргументов смена функции на кофункцию не происходит. Попробуем переписать аргументы выражений не в радианах, а в градусах:

Разобраться в истории довольно просто, если представить ось координат для построения тригонометрической окружности. Если аргумент функции содержит , то есть лошадь кивает «да», происходит смена на кофункцию. Если же перед острым углом стоит π или 2π, умный конь кивает вдоль оси OX – «нет», функция остается прежней.

Чтобы быстро и безошибочно восстановить любую формулу приведения необходимо выполнить три пункта:

Осталось вывести мнемонические правила для формул приведения и запомнить их.

Оба угла 30° и 60° расположены в первой четверти круга, где знак для тангенса — «+». Следовательно, и знак перед новыми функциями будет положительным. Для угла (2π + 30°) функция останется неизменной, а для (π/2-60°) — сменится на кофункцию:

Формулы приведения

Мы рассмотрели формулы приведения и пояснили их на конкретных примерах. В дальнейшем мы будем активно использовать формулы приведения для преобразования тригонометрических выражений.

Рассмотрим приемы, облегчающие запоминание формул приведения.

3) Ставим этот знак перед приведенной к углу функцией (функцией справа).

Для аргументов , т.е. аргументов, отложенных от горизонтальной оси, лошадь, глядя на точки будет отрицательно мотать головой – функция не меняется (рис. 10) .

Формулы приведения предназначены для того, чтобы привести тригонометрическую функцию произвольного угла к тригонометрической функции наименьшего из углов.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

Формулы приведения

Формул приведения много, но все они подчиняются двум правилам:

Второе правило (для знака приведенной функции, функции угла ).

Итак, мы рассмотрели различные примеры применения первого и второго правил формул приведения.

На этом уроке мы рассмотрим формулы приведения и два основных правила, из которых они состоят. Также рассмотрим несколько приемов, облегчающих запоминание этих правил и решим несколько примеров с использованием этих формул.

2) Определяем четверть и знак в ней приводимой функции (функции слева).

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.

1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы или — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, мы используем уже известные табличные значения.

А формулы, которые позволяют сделать это, называются формулами приведения.

  1. Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.
  2. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: и острого угла α, а в правой части аргумент α.
  3. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям тригонометрических функций для острых углов.

Как решать С1

б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[-\frac<5\pi><2>; -\pi \right]`.

б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `\left[ -\frac<7\pi>2 ; -\frac<5\pi>2\right]`.

Самая суть в решении тригонометрических уравнений заключается в том, что с тригонометрическими функциями можно делать самые разные преобразования. Чем лучше вы владеете этими преобразованиями, тем выше шанс решить задание С1 быстро и наиболее рациональным способом.

Эта задача отдаленно напоминает вариант для сибирского региона — там тоже была формула привидения. Но на этом сходства заканчиваются: других интересных моментов в этом уравнении не замечено.

С1 — самое легкое задание части С из ЕГЭ по математике. Но тем не менее, по статистике хорошо ее решает только каждый десятый. Эта статья — первая из блока решений задач С1 реального ЕГЭ 2013 года.

В этом уроке мы поговорим о формулах приведения тригонометрических функций. Итак, что они из себя представляют?

Правила формул приведения

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен «+». Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Для использования формул приведения существует два правила.

Еще по теме:

  • Все правила геометрии для егэ Шпаргалки по математике для ЕГЭ и ОГЭ cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x -1 = 1 – 2 sin 2 x = 1 – tg 2 x/1 + tg 2 x a,b,c – стороны, a – основание, h – высота, A,B,C – углы, лежащие против сторон; p = (a+b+c)/2 V = 2/3 πR 2 h’ где h’ […]
  • Магнитное поле основные законы Основные законы магнитного поля Сила действующая на единственный элемент тока со стороны другого тока называется вектором магнитной индукции. · Закон Ампера устанавливает, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, […]
  • Правило условие задачи Задачи на УМНОЖЕНИЕ и ДЕЛЕНИЕ 2 класс 20. 48 деревьев посадили в ряды, по 6 деревьев в каждом ряду. Сколько получилось рядов? Простые задачи на УМНОЖЕНИЕ и ДЕЛЕНИЕ — это как правило, задачи для 2 класса . Программа Школа 21 век знакомит […]
  • Правило левой руки для силы лоренца и ампера Правило левой руки для силы лоренца и ампера F л = q · V · B · sin a Так как электрический ток представляет собой упорядоченное движение зарядов, то действие магнитного поля на проводник с током есть результат его действия на отдельные […]
  • Tg и ctg правила Tg и ctg правила Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Обозначается так: ctg α. Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначается […]