Правила степеней с дробями

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2 ) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2 )] 2 =(a 3 +b 3 ) 2

1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

Пример 1. (7•2•10) 2 = 7 2 •2 2 •10 2 = 49•4•100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2 ) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

Как сокращать дроби со степенью

Помогите сократить дробь со степенями в числителе и знаменателе.

Произведение в степени — раскрываем скобки, при этом каждый множитель возводим в данную степень

Прежде всего нужно четко понимать правила. Их всего 4.

Чтобы сокращать дроби со степенью не было для вас проблемой, необходимо знать свойства степени:

4). При извлечении корней из степеней каких-либо чисел, показатель степени делится на показатель корня. Например: √(5^8)=5^(8/2)=5^4.

Деление степеней с одинаковым основанием — основание оставляем, степени вычитаем

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac<6x^6><3x^5>$. Ответ: $\frac<2x><1>$ или 2x.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Правила степеней с дробями

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

В примере 9) представим 7 3 как 7 2 ∙7, а степень 4 5 как 4 3 ∙4 2 , а затем сократим дробь на (7 2 ∙4 3 ).

При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: a m ∙a n =a m+n и a m :a n =a m-n . При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: a m ∙a n =a m+n .

I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Степени и корни

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

Действия с дробями

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить прежним:

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Действия со степенями

a n b n c n . =(abc. ) n ,

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

a m a n = a m + n

4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:

3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

Действия с дробями, правила, примеры, решения

Теперь вычтем из дроби дробь . Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем .

а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем . Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые: .

В глаза бросается одинаковый знаменатель дробей и , но в данном случае начинать с вычитания мы не имеем права, так как в исходном выражении содержится умножение (которое является действием второй ступени, а действия второй ступени, как известно, выполняются перед действиями первой ступени, одним из которых является вычитание). Более того, частью исходного выражения является выражение в скобках, значит, с выполнения действий в выражении в скобках и нужно начинать: . Подставив этот результат в исходное выражение, получаем .

Закончим рассмотрение действий с дробями общего вида возведением в степень. В случае натурального показателя степени это действие можно рассматривать как умножение одинаковых дробей в количестве, определяемом показателем. Однако, при возведении дробей в степень лучше придерживаться общего подхода, базирующегося одном из свойств степеней, который подходит не только для натуральных показателей, но и для любых действительных. Так для любых выражений A и C , где C – тождественно не равно нулю, и любого действительного числа r на ОДЗ для выражения справедливо равенство . Понятно, что результатом возведения дроби в степень является дробь.

Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: . Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):

Еще по теме:

  • Правила сокращения степеней Правила сокращения степеней Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2 ) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2 )] 2 =(a 3 +b 3 ) 2 Пример 1. (7•2•10) 2 = 7 2 •2 2 •10 2 = 49•4•100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2 ) 3 = [(x +a)(x - a)] 3 =(x +a) 3 (x - a) […]
  • Алименты контрольная работа Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии ab=3*0+1*1+8*3=25,векторы а иbне ортагональны, потому что не равны 0. Задачи 21-30.Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по […]
  • Правила о ппд Билеты ПДД 2018 онлайн России Старый Прииск Мусорка поедет на перекрёстке закроет все знаки и светофоры и какой ма..дой я должен руководствоваться или считаете что гаишники всё знают и правила? г.Минск Считаю,что необходимо переодически […]
  • Равномерный закон распределения это Равномерный закон распределения Пример 36Поезда метрополитена идут с интервалом в 4 минуты. Пассажир приходит на платформу поезда в произвольный момент времени. Найти вероятность того, что он будет ожидать прихода поезда не более одной […]
  • Третий закон жизни Третий закон жизни Например, если бы гены, отвечающие за окраску и форму семян гороха находились в одной хромосоме, то гибриды первого поколения могли бы образовывать гаметы только двух типов (AB и ab), так как в процессе мейоза […]